Frattali, cosa sono

​​​​​​La matematica è molto di più della materia, un po' fredda e ripetitiva, che si studia a scuola.
La matematica è ciò che spiega il funzionamento delle cose attorno a noi e, talvolta, anche ciò che rende affascinante la natura che ci circonda.

Se per esempio una fronda di felce ci sembra così perfetta, è perché rappresenta un concetto puramente matematico, chiamato frattale.

 

• Cosa sono i frattali
• Proprietà del frattale
• Come funzionano i frattali
• I frattali in natura
• La sequenza di Fibonacci e i frattali
   

 

Cosa sono i frattali

I frattali sono forme geometriche complesse e affascinanti che si ripetono all'infinito, mantenendo la stessa struttura a diverse scale. Sono quindi concetti matematici che si ritrovano nell’arte e nella natura.

 

Viene spontaneo domandarsi chi ha scoperto i frattali: il primo in assoluto fu il matematico polacco (naturalizzato francese) Benoit Mandelbrot, ma anche i tedeschi David Hilbert e Georg Cantor svolsero studi approfonditi su questo tema.

 

In breve, ecco a cosa servono i frattali:

• I frattali in matematica sono usati per risolvere alcuni problemi, per esempio nella teoria dei numeri, e sono il principale oggetto di studio della cosiddetta geometria frattale.
• In fisica tornano utili per descrivere fenomeni naturali complessi come le proprietà delle superfici irregolari, il comportamento del fluido nei turbolenti e il rumore elettronico nei circuiti integrati.
• I frattali in informatica servono per comprimere immagini e video, oppure per creare ambienti virtuali e modelli realistici di superfici tridimensionali.
• In biologia sono usati per descrivere la distribuzione delle piante in un ecosistema; anche alcune parti del nostro corpo, come i polmoni, hanno una struttura frattale.
• I frattali nel disegno permettono di creare texture, sfondi e immagini astratte.

 

Proprietà dei frattali

Ciò che rende i frattali così interessanti, utili in diversi campi e anche affascinanti sta nelle loro proprietà. Eccole: 

• Autosimilarità: i frattali si ripetono in modo identico o simile a diverse scale. 
• Infinita complessità: anche se vengono ingranditi all'infinito, non avranno mai una forma liscia o regolare.
• Frattalità: la loro lunghezza, area o volume può aumentare in modo non lineare.
• Irregolarità: la loro forma geometrica non è standard, come un cerchio o un quadrato. Questo è il motivo per cui è adatta a descrivere oggetti naturali o complessi.
• Autoaffinità: ciascuna parte dell’insieme ha la stessa forma.
• Sensibilità alle condizioni iniziali: anche una piccola variazione nelle condizioni iniziali può portare a risultati molto diversi.
• Scalabilità: i frattali possono essere riprodotti a diverse scale mantenendo le loro proprietà fondamentali.

 

Come funzionano i frattali

I frattali sono costruiti a partire da un insieme di regole semplici che vengono ripetute all'infinito (si parla di iterazione). Ad ogni iterazione, la forma si complica generando una struttura sempre più complessa.

 

Nei fatti, come si genera un frattale? Esistono diversi metodi, più o meno complessi:

• Iterazioni geometriche: si parte da una figura, le si applica una regola geometrica sempre e si fa lo stesso con ogni nuova figura generata.
• Sistemi di funzioni iterati (IFS): un insieme di funzioni matematiche vengono applicate ripetutamente a un punto iniziale, in modo da generare una serie di punti; una volta connessi tra loro, generano una forma frattale.
• Curve del frattale: si parte non da una figura o da un punto bensì da una curva, iterata e suddivisa in parti più piccole fino a generare una struttura frattale.

Una volta generato, il frattale può essere rappresentato graficamente e manipolato digitalmente per esplorarne proprietà e caratteristiche.

 

I frattali in natura

Ma di preciso dove si trovano i frattali in natura? Ecco qualche esempio:

• rami degli alberi;
• fronde delle felci;
• conchiglie;
• montagne e coste;
• nuvole;
• fulmini;
• strutture cristalline;
• broccolo e cavolo romanesco;
• fratture delle rocce.

 

La sequenza di Fibonacci e i frattali

Quando si sente parlare di frattali, spesso si cita anche la sequenza di Fibonacci. Ma cos’è nello specifico? E che legame c’è tra le figure geometriche frattali e questi numeri? Cerchiamo di fare un po’ d’ordine.

 

La sequenza di Fibonacci, che prende il nome dal matematico Leonardo Pisano detto il Fibonacci, è una serie in cui ogni numero è la somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610... 

 

Questa sequenza è presente in molti fenomeni naturali e può essere utilizzata per generare frattali. Ad esempio, è possibile costruire un frattale chiamato spirale di Fibonacci, disegnando un quadrato e aggiungendo altri quadrati a lato, con dimensioni pari ai numeri della sequenza di Fibonacci. Questi quadrati vengono poi connessi in modo da formare una spirale.